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les racines imaginaires sont toujours en nombre pair, et l’équation, si elle est d’un degré pair, peut être décomposée en facteurs du deuxième degré, dont les coefficients sont réels. Ce théorème important a été admis par les analystes, avant qu’ils en aient eu une démonstration rigoureuse. D’Alembert est le premier qui l’ait démontré, en faisant voir en même temps que toutes les imaginaires connues se réduisent à la forme $m\pm n{\sqrt {-1}}.$

Deux termes consécutifs d’une équation, qui ont le même signe, forment une permanence ; s’ils ont différents signes ils forment une variation. Par fermes consécutifs j’entends ceux dans lesquels les exposants de l’inconnue ne diffèrent que d’une unité.

Il ne peut pas y avoir, dans une équation, plus de racines réelles positives que de variations ; il ne peut pas y avoir plus de racines réelles négatives que de permanences.

De là il suit que, si toutes les racines sont réelles, il y a autant de racines positives que de variations, et autant de racines négatives que de permanences. C’est la fameuse règle de Descartes, qui ne l’a trouvée que par induction. Elle a été démontrée depuis, et même généralisée par de Gua, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1741

Si quelques-uns des termes de l’équation manquent, ce qui revient à supposer leurs coefficients égaux à zéro, on peut alors les faire précéder, à volonté, des signes $+$ ou $-,$ et si le nombre des variations n’est pas le même dans ces hypothèses, l’équation a nécessairement des racines imaginaires. Par exemple, si deux termes consécutifs manquent à la fois, l’équation a des racines imaginaires, et l’équation $x^{n}+1=0$ a toutes, ses racines imaginaires si $n$ est pair, et elle n’a qu’une racine réelle si $n$ est impair.

On n’a point encore de règle générale pour reconnaître, dans une équation proposée, le nombre des racines réelles et celui des racines imaginaires. Plusieurs géomètres ont donné les moyens de déterminer, dans les équations du troisième et du quatrième degré, le nombre des racines imaginaires, celui des racines réelles positives et le nombre