termes de la forme on aura donc encore cette dernière somme en fonction des coefficients de l’équation, et ainsi de suite.
Maintenant, toute fonction invariable est égale à une ou plusieurs sommes de la forme précédente ; elle peut donc être ainsi déterminée au moyen des coefficients de l’équation proposée.
Si l’on a une fonction de racines qui subisse des variations, en y échangeant toutes les racines de l’équation, les unes dans les autres, alors en désignant par ces divers changements que je suppose être au nombre de cette fonction sera donnée par une équation en résultant du produit des facteurs En développant ce produit, les coefficients des puissances de seront des fonctions invariables des racines de l’équation primitive, et pourront être déterminés au moyen de ses coefficients. Par exemple, la fonction subit changements, en y substituant pour et toutes les racines de l’équation primitive ; l’équation en dont les diverses racines sont, dans ce cas, les carrés des différences des racines est donc du degré
Toute équation d’un degré impair a au moins une racine réelle, d’un signe contraire à celui de son dernier terme ; car, si l’on suppose, par exemple, ce dernier terme positif, en substituant dans le premier membre de l’équation, au lieu de l’inconnue, toutes les valeurs, depuis zéro jusqu’à l’infini négatif, ce membre passera, par degrés insensibles, d’une valeur positive à une valeur infinie négative ; d’où il suit qu’une des valeurs de l’inconnue, intermédiaire entre zéro et l’infini négatif, rend ce premier membre nul, et, par conséquent, elle est une des racines de la proposée.
Le même raisonnement fait voir que, si l’équation étant d’un degré pair, son dernier terme est négatif, elle a au moins deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative.
Les racines imaginaires des équations sont de la forme et étant des quantités réelles, et si l’équation a pour racines elle a pareillement pour racine <math>m-n\sqrt{-1}\,;<math> en sorte que
