Pour extraire la racine d’une fraction il suiffit d’extraire la racine de son numérateur et celle de son dénominateur.
La puissance de tout nombre entier ou fractionnaire est un nombre entier ou une fraction ; mais il n’en est pas ainsi des racines. Par exemple, la racine carrée de deux n’a aucune mesure commune avec l’unité. Quel que soit le nombre des parties égales, dans lesquelles l’unité est divisée, aucune de ces parties n’est exactement contenue dans la racine carrée de deux, que l’on nomme, par cette raison, irrationnelle ou incommensurable. Vous voyez comment l’examen des propriétés des nombres étend successivement nos idées. Les nombres entiers se sont présentés, ensuite les nombres fractionnaires, et enfin nous sommes arrivés à la considération des nombres irrationnels. Le nombre n’est plus simplement une collection d’unités, comme nous l’avions conçu d’abord ; il est généralement le rapport d’une quantité à une autre quantité prise pour unité. Examinons particulièrement les rapports.
La différence de deux nombres est leur rapport arithmétique ; la manière dont ils se contiennent forme le rapport géométrique, qui n’est ainsi que le quotient de l’un des nombres divisé par l’autre.
La proportion consiste dans l’égalité de deux rapports. Si quatre grandeurs sont en proportion arithmétique, c’est-à-dire si la différence de la première à la deuxième est la même que celle de la troisième à la quatrième, la somme des moyens est égale à celle des extrêmes.
Réciproquement, si la somme des extrêmes est égale à celle des moyens, les quatre grandeurs sont en proportion arithmétique.
Si quatre grandeurs sont en proportion géométrique, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; et réciproquement, si le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, les quatre grandeurs sont en proportion géométrique.
De là résultent la règle de trois et toutes les règles qui s’y rapportent.
Une suite de termes tels que le premier est surpassé par le deuxième, comme le deuxième est surpassé par le troisième, comme le troisième est surpassé par le quatrième, etc., forme une progression arithmé-
