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d’où l’on tire $u$ et $t,$ par conséquent la distance périhélie et le véritable instant du passage de la comète par ce point.

Si l’on nomme $j$ la position du nœud qui serait ascendant si le mouvement de la comète était droit^[1] et $\varphi$ l’inclinaison de l’orbite, on aura

${\begin{aligned}\operatorname {tang} j=&{\frac {\operatorname {tang} \varpi '\sin {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \sin {\text{ϐ}}'}{\operatorname {tang} \varpi '\cos {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \cos {\text{ϐ}}'}},\\&\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\operatorname {tang} \varpi '}{\sin({\text{ϐ}}'-j)}},\\\operatorname {tang} j=&{\frac {\operatorname {tang} \varpi ''\sin {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \sin {\text{ϐ}}''}{\operatorname {tang} \varpi ''\cos {\text{ϐ}}-\operatorname {tang} \varpi \cos {\text{ϐ}}''}},\\&\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\operatorname {tang} \varpi ''}{\sin({\text{ϐ}}''-j)}}.\end{aligned}}$

Pour déterminer les angles $j$ et $\varphi$ d’après ces formules, supposons que l’on se serve des deux dernières ; il est visible que la tangente de $j$ peut également appartenir aux deux angles $\mathrm {I}$ et $180^{\circ }+\mathrm {I} ,$ $\mathrm {I}$ étant le plus petit des angles positifs auxquels elle puisse appartenir. Pour déterminer lequel de ces deux angles il faut employer, on observera que $\varphi$ et $\operatorname {tang} \varphi$ doivent être positifs et qu’ainsi $\sin({\text{ϐ}}''-j)$ doit être de même signe que $\operatorname {tang} \varpi ''.$ Cette condition déterminera l’angle $j$ et cet angle sera la position du nœud ascendant, si le mouvement de la comète est direct ; mais, si ce mouvement est rétrograde, il faut ajouter $180^{\circ }$ à la position précédente.

L’hypoténuse du triangle sphérique rectangle dont ${\text{ϐ}}''-j$ et $\varpi ''$ sont les côtés est la distance de la comète au nœud dans la troisième observation, et la différence de cette hypoténuse à l’est l’intervalle entre le nœud et le périhélie ; on aura donc facilement la position du périhélie.

Appliquons cette méthode à la comète de 1773 ; pour cela nous choisirons les trois positions suivantes de la comète : savoir celle du 13 octobre, à $17^{\mathrm {h} },$ temps moyen à Paris ; celle du 30 décembre, à $18^{\mathrm {h} },$ temps moyen, et celle du 1^er avril 1774, à midi, temps moyen.

1. Droit pour direct.