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des produits deux à deux des quatre nombres $i,i',i'',i'''\,;$ 3^o la somme des produits trois à trois des cinq nombres $i,i',i'',i''',i^{\text{ıv}}\,;$ etc.

En opérant de la même manière sur les déclinaisons de la coinéte, sa déclinaison après le nombre $z$ de jours, depuis l’époque, sera représentée par la formule suivante :

${\begin{aligned}r-i\delta r&+ii'\,\ \delta ^{2}r-ii'i''\delta ^{3}r+ii'i''i'''\delta ^{4}r-\ldots \\&+z\ \,\left[\delta r\ \,-(i+i')\delta ^{2}r+(ii'+ii''+ii''')\delta ^{3}r\right.\\&\,\qquad \qquad \left.-(ii'i''+ii'i'''+ii''i'''+i'i''i''')\delta ^{4}r+\ldots \right]\\&+z^{2}\left[\delta ^{2}r-(i+i'+i'')\delta ^{3}r\right.\\&\ \qquad \qquad \left.+(ii'+ii''+ii'''+i'i''+i'i'''+i''i''')\delta ^{4}r-\ldots \right].\end{aligned}}$

On supposera ensuite $z$ égal à un petit nombre de jours, de manière que les termes multipliés par $z^{2}$ ne montent qu’à un petit nombre de minutes, par exemple à $4$ ou $5$ minutes. Soit $q$ ce nombre de jours ; on fera successivement $z=-q,\ z=0$ et $z=q\,;$ on aura ainsi trois ascensions droites et trois déclinaisons correspondantes de la comète, éloignées l’une de l’autre d’un même intervalle de temps. On pourra pour plus de simplicité fixer l’époque à l’instant de l’observation moyenne, si le nombre des observations employées est impair, ce qui donne

$i=0$

et ce qui simplifie, par conséquent, les formules précédentes. Cela posé, au moyen des trois ascensions droites et des trois déclinaisons, on calculera les trois longitudes et les trois latitudes correspondantes, en ayant soin de porter la précision jusqu’aux secondes. Soient $\alpha _{1},\alpha ,\alpha '$ les trois longitudes et $\theta _{1},\theta ,\theta '$ les trois latitudes boréales, les latitudes australes devant être supposées négatives ; on réduira en secondes la quantité ${\frac {\alpha '-\alpha _{1}}{2q}}$ et, du logarithme de ce nombre de secondes, on retranchera le logaritlnne $3{,}5500081$^[1] ; on aura le logarithme d’un nombre que nous désignerons par $a.$

On réduira i)pareillement en secondes la quantité ${\frac {\alpha '-2\alpha +\alpha _{1}}{q^{2}}}$ et,

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 103.