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à $x-dx,$ $x$ et $x+dx,$ c’est-à-dire proportionnelle à

$y_{x-dx,t}-2y_{x,x_{1}}+y_{x+dx,t}\,;$

de plus, cette force sera, par les principes de Dynamique, proportionnelle à

$d^{2}y_{x,t},$

cette différence seconde étant prise en ne faisant varier que le temps $t\,;$ en le mettant donc, comme cela se peut, sous cette forme

$y_{x,t-dt}-2y_{x,t}+y_{x,t+dt},$

on aura pour déterminer le mouvement de la corde l’équation

$y_{x,t+dt}-2y_{x,t}+y_{x,t-dt}=a^{2}\left(y_{x+dx,t}-2y_{x,t}+y_{x-dx,t}\right),$

$a^{2}$ étant un coefficient constant. Cette équation convient in contesta-Mement à tous les points de la corde, excepté aux deux extrêmes, dont le premier n’a point d’ordonnée antérieure et le second, d’ordonnée postérieure ; mais ces deux points sont fixes par la condition du problème. J’observe cependant que, pour que l’équation précédente subsiste, il est nécessaire que deux côtés contigus ne forment point entre eux un angle fini, car au sommet de cet angle la force accélératrice, qui partout ailleurs est finie, serait infinie. La vitesse changerait donc brusquement à ce point, et l’on ne pourrait plus y supposer la force accélératrice égale à ${\frac {d^{2}y_{x,t}}{dt^{2}}},$ comme cela est nécessaire pour que l’équation générale du problème des cordes vibrantes puisse avoir lieu.

Maintenant, au lieu d’intégrer l’équation précédente par la considération des infiniment petits, ce qui peut laisser des doutes sur la discontinuité des fonctions arbitraires auxquelles on parvient, je l’intègre comme une équation aux différences finies et dans laquelle, par conséquent, $dx$ et $dt$ sont des quantités finies. Il est visible que, rien n’étant négligé dans cette intégration, les résultats que je trouve conviennent également au cas de $dx$ et de $dt,$ infiniment petits ; et comme dans le cas général, la valeur de $y_{x,t}$ se construit en plaçant alternativement, au-dessus et au-dessous de l’axe des abscisses, le polygone