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intégrale étant supposée commencer avec $k\,;$ cela posé, je construis la courbe $\mathrm {AMNORT}$ de manière que, l’abscisse $\mathrm {AP}$ étant $k,$ l’ordonnée $\mathrm {PM}$ soit

$6k^{2}{\frac {\left[\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \right]}{\left(3k^{2}+9\right)^{2}\left(1+k^{2}\right)}}.$

Il est clair : 1^o que les ordonnées commenceront et finiront par être positives ; 2^o que, si du côté des valeurs positives de $k,$ les seules que

nous devions considérer ici, la courbe coupe l’axe des abscisses, elle le coupera en deux points $\mathrm {N,R}$ tels que les abscisses $\mathrm {AN}$ et $\mathrm {AR}$ seront déterminées par les deux racines positives de l’équation

$0=\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \,;$

cette équation donne

$k^{2}={\frac {3}{\omega }}-5\pm {\sqrt {\left({\frac {3}{\omega }}-5\right)^{2}-9}}\,;$

pour que $k^{2}$ ait une valeur réelle et positive, il faut que $\left({\frac {3}{\omega }}-5\right)^{2}$ soit plus grand que $9,$ et que ${\frac {3}{\omega }}-5$ soit positif ; dans ce cas, les deux valeurs de $k^{2}$ seront réelles et positives, ce qui donnera pareillement pour $k$ deux valeurs réelles et positives ; il suit de là que la courbe ne coupera point du tout son axe ou qu’elle le coupera en deux points $\mathrm {N}$ et $\mathrm {R} \,;$ il est bien clair qu’elle ne peut le couper qu’en ces deux points, du côté des abscisses positives.

Maintenant la fonction $\varphi$ représente l’aire de la courbe, et, pour que cette fonction puisse être nulle, il faut que la courbe coupe son axe et que l’aire négative $\mathrm {NOR}$ excède, ou au moins soit égale a l’aire positive $\mathrm {AMN} \,;$ il doit donc exister alors un point $\mathrm {S}$ tel que l’aire $\mathrm {NOS}$ soit égale à l’aire $\mathrm {AMN} \,;$ mais, puisque la fonction $\varphi$ finit par être positive.