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susceptible que de deux solutions. En relisant vos belles remarques sur cet objet, je m’en suis assuré par la médiode suivante, qui est assez simple et qu’on peut employer avec avantage, pour déterminer le nombre des racines réelles des équations transcendantes : je considère d’abord l’équation $2\omega ={\frac {\left(3k^{2}+9\right)\operatorname {arc} \operatorname {tang} k-9k}{k^{3}}},$ de la page 50 du Volume VI de vos Opuscules^[1] ; cette équation détermine, par le nombre des valeurs réelles et positives de $k$ qui peuvent y satisfaire, les différentes figures elliptiques qui conviennent à l’équilibre ; mais il est assez difficile de reconnaître le nombre de ces racines à cause de la fonction transcendante qu’elle renferme. Pour la faire disparaître, je mets l’équation précédente sous cette forme

${\frac {2\omega k^{3}+9k}{3k^{2}+9}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} k=0$

et je nomme $\varphi$ la fonction^[2]

${\frac {2\omega k^{3}+9k}{3k^{2}+9}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} k\,;$

je différentie cette fonction et, toutes réductions faites, je trouve

$\delta \varphi ={\frac {6k^{2}\delta k.\left[\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \right]}{\left(3k^{2}+9\right)^{2}\left(1+k^{2}\right)}},$

on aura donc

$\varphi =\int 6k^{2}\delta k{\frac {\left[\omega k^{4}+(10\omega -6)k^{2}+9\omega \right]}{\left(3k^{2}+9\right)^{2}\left(1+k^{2}\right)}},$

1. $\omega$ est un nombre connu qui dépend de la vitesse de rotation de la sphère homogène autour d’un de ses diamètres.

   Si $a$ est le demi-axe de l’ellipse qui devient cette sphère en devenant fluide, $ma$ le rayon de l’équateur, l’attraction au pôle sera

   $\mathrm {P} ={\frac {2cm^{2}a}{\left(m^{2}-1\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\sqrt {m^{2}-1}}-\operatorname {arc} \operatorname {tang} {\sqrt {m^{2}-1}}\right)$

   ou, en faisant $k={\sqrt {m^{2}-1}},$ on a

   $\mathrm {P} ={\frac {2ca\left(k^{2}+1\right)}{k^{3}}}\left(k-\operatorname {arc} \operatorname {tang} k\right).$
2. Œuvres de Laplace, T. II, p. 59.