Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 14.djvu/360

$'\!\mathrm {A,''\!A} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires ; qu’on fasse

${\begin{alignedat}{2}{\overline {u}}\ \ =&u\Delta \left({\frac {u'}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {u}}}\ \ =&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {u'}}{\overline {u}}}\right),\\{\overline {u'}}\ =&u\Delta \left({\frac {u''}{u}}\right),&{\overline {\overline {u'}}}\ =&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {u''}}{\overline {u}}}\right),\\{\overline {u''}}=&u\Delta \left({\frac {u'''}{u}}\right),&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

jusqu’à ce qu’on parvienne à former ${\frac {1}{\overline {u}}}\,;$ qu’on fasse ${\frac {1}{\overline {u}}}\sideset {^{n-1}}{}z\,;$ si dans cette expression on change $\sideset {^{n-1}}{}u$ en $\sideset {^{n-2}}{}u,$ et réciproquement, on formera $\sideset {^{n-2}}{}z,$ et ainsi de suite ; l’intégrale de l’équation (3) sera

${\begin{aligned}y^{x}=&\ \qquad u\left(\quad \ \ \mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} ^{x}}{z}}\right)\\&+\quad '\!u\left(\ \quad '\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} ^{x}}{'\!z}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\sideset {^{n-1}}{}u\left({\sideset {^{n-1}}{}{\mathrm {A} }}\pm \sum {\frac {\mathrm {X} ^{x}}{\sideset {^{n-1}}{}z}}\right),\end{aligned}}$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair et le signe $-,$ s’il est pair.

Je suis parvenu, par cette méthode, non seulement à sommer très directement les suites récurrentes, mais de plus une espèce de suites fort générales, dont celles-ci ne sont qu’un cas particulier.

Toutes ces choses sont développées dans un Mémoire que M. de Fouchy m’a promis de faire imprimer au plus tôt^[1]. J’aurais bien désiré que vos occupations vous eussent permis d’y jeter un coup

1. Ce Mémoire a pour litre : Recherches sur le calcul intégral aux différences infiniment petites et aux différences finies ; il a élé inséré dans le Tome IV des Mélanges de Turin : l’illustre géomètre revient sur les énoncés de ces théorèmes à la fin de son Mémoire sur les suites récurro-récurrentes et sur leurs usages dans la Théorie des hasards(^✶) (Mémoires de Mathématique et de Physique, présentés à l’Académie royale des Sciences par divers savants et lus dans les assemblées, T. VI, etc. MDCCLXXIV, p. 367-371).
   (*) Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 5 et 20 à 24.