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Vous et M. de Lagrange avez démontré dans ces Mémoires d’une manière fort élégante que si l’on sait intégrer l’équation

(1)

$0=y+\mathrm {H} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {H} '{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots +\mathrm {H} ^{n-1}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},$

$dx$ étant constant et $\mathrm {H,H'} ,\ldots$ étant des fonctions de $x,$ on pourra toujours intégrer celle-ci

(2)

$\mathrm {X} =y+\mathrm {H} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {H} '{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots +\mathrm {H} ^{n-1}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction de $x.$

Je suis parvenu, par une méthode assez singulière, non seulement à démontrer ce théorème, mais encore à la règle suivante :

Soit

$y=\mathrm {C} u+\mathrm {C} 'u'+\mathrm {C} ''u''+\ldots +\mathrm {C} ^{n-1}u^{n-1}$

l’intégrale complète de l’équation (1), $u,u',u'',\ldots$ étant des intégrales particulières de cette équation, et $\mathrm {C,C',C''} ,\ldots$ étant des constantes arbitraires, on fera

${\begin{alignedat}{4}{\overline {u}}\ \ =&{\frac {u'du-udu'}{du}},\quad &{\overline {\overline {u}}}\ =&{\frac {{\overline {u'}}d{\overline {u}}-{\overline {u}}d{\overline {u'}}}{d{\overline {u}}}},\quad &{\overline {\overline {\overline {u}}}}=&{\frac {{\overline {\overline {u'}}}d{\overline {\overline {u}}}-{\overline {\overline {u}}}d{\overline {\overline {u'}}}}{d{\overline {\overline {u}}}}},\quad &\ldots ,\\{\overline {u'}}\ =&{\frac {u''du-udu''}{du}},&{\overline {\overline {u'}}}=&{\frac {{\overline {u''}}d{\overline {u}}-{\overline {u}}d{\overline {u''}}}{d{\overline {u}}}},&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\\{\overline {u''}}=&{\frac {u'''du-udu'''}{du}},&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{alignedat}}$

jusqu’à ce qu’on parvienne ainsi à former ${\frac {\overline {1}}{\overline {u}}}\,;$ soit alors

${\frac {d\left({\cfrac {\quad 1\quad }{\cfrac {\overline {1}}{\overline {u}}}}\right)}{dx}}=z^{n-1},$

et l’analytique de ce problème :

Une équation différentielle aux différences infiniment petites et qui admet une solution générale étant donnée, trouver l’intégrale.

(Mélanges de Philosophie et de Mathématiques de la Société royale de Turin pour les années 1766-1769, etc., p. 1-18.)