à la face et qui la coupe suivant la droite et, par le point il mène, dans le plan de la face, perpendiculairement à Enfin, par il mène un plan qui touche l’ellipsoïde en est, suivant lui, la direction du rayon réfracté. En effet, il est aisé de voir que, dans cette construction, un point quelconque de l’onde lumineuse parvient en suivant la ligne brisée dans le même temps que parvient en représentant la vitesse du rayon réfracté, la droite est parcourue dans le même temps que la droite Nous prendrons ce temps pour unité de temps et pour unité d’espace. Le point parvient en dans un temps proportionnel à et, par conséquent, égal à Il parvient de en dans l’intérieur du cristal, dans un temps égal au temps que la lumière emploie à parvenir de en multiplié par et, par conséquent, égal à étant parallèle à En ajoutant ce temps à on aura l’unité pour le temps que le point met à parvenir en
Prenons l’infiniment près de et parallèle à cette ligne ; le point parviendra en dans une unité de temps. Tirons les droites et et supposons que le point parvienne en suivant la ligne brisée étant perpendiculaire à la droite peut être supposée égale à et les temps employés à les parcourir peuvent être supposés égaux. De plus, le temps employé à parcourir peut être supposé égal au temps employé à parcourir parce que le plan touchant en le sphéroïde semblable au sphéroïde dont le centre est en et dont les dimensions sont diminuées dans la raison de à les deux points et peuvent être supposés à la surface de ce sphéroïde. Selon Huygens, les vitesses suivant et sont proportionnelles à ces lignes ; les temps employés à les parcourir sont donc égaux. Ainsi le temps de la transmission de la lumière, suivant la ligne brisée est égal à l’unité comme suivant la ligne brisée la différentielle de ces deux temps est donc nulle ; ce qui est le principe de Fermat.
