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et en réduisant en séries

$\alpha s={\frac {gt^{2}}{2}}-{\frac {mg^{2}t^{4}}{12}}+{\frac {m^{2}g^{3}t^{6}}{45}}-\ldots .$

Pour déterminer $\alpha v',$ nous observerons que l’on a

$\alpha {\frac {ds}{dt}}={\frac {1}{m}}{\frac {ds'}{s'dt}},$

et qu’ainsi l’équation différentielle en $\alpha v'$ devient

$0=\alpha s'{\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+\alpha {\frac {ds'}{dt}}{\frac {dv'}{dt}}-{\frac {2n}{m}}{\frac {ds'}{dt}}\sin \theta ,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\alpha s'{\frac {dv'}{dt}}={\frac {2n}{m}}\sin \theta s'+C,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, nous observerons que $t$ étant nul, ${\frac {dv'}{dt}}=0$ et $s'=1,$ ce qui donne

$C=-{\frac {2n}{m}}\sin \theta ,$

$\alpha {\frac {v'}{t}}={\frac {2n}{m}}\left(1-{\frac {1}{s'}}\right)\sin \theta ={\frac {2n}{m}}\left(1-{\frac {2}{e^{t{\sqrt {mg}}}+e^{-t{\sqrt {mg}}}}}\right)\sin \theta .$

En intégrant de manière que $\alpha v'$ soit nul avec $t,$ on aura

$\alpha v'={\frac {2n\sin \theta }{m}}t-{\frac {4n\sin \theta }{m{\sqrt {mg}}}}\operatorname {arc} \operatorname {tang} \left({\frac {e^{{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}-e^{-{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}}{e^{{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}+e^{-{\frac {t}{2}}{\sqrt {mg}}}}}\right),$

et en réduisant en séries, on aura

$\alpha v'={\frac {ngt^{3}\sin \theta }{3}}\left(1-{\frac {mgt^{2}}{4}}+{\frac {61}{840}}m^{2}g^{2}t^{4}-\ldots \right).$

On doit observer, dans ces expressions de $\alpha s$ et des $\alpha v',$ que $t$ exprimant un nombre d’unités de temps, $g$ est le double de l’espace que la pesanteur fait décrire dans la première unité de temps ; $nt$ est l’angle