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quantité ${\frac {\alpha s}{\sin \theta }}\left({\frac {dy}{d\omega }}\right)\,;$ $\alpha v'$ est donc l’écart du corps à l’est de la verticale.

Supposons maintenant la résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse, en sorte que $k=m\alpha {\frac {ds}{dt}},$ $m$ étant un coefficient qui dépend de la figure du corps et de la densité de l’air, densité variable à raison de l’élévation du corps, mais qui peut être ici supposée constante sans erreur sensible. On aura

$0=\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\alpha ^{2}m{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}-g.$

Pour intégrer cette équation, nous ferons

$\alpha s={\frac {1}{m}}\log s',$

et nous aurons

$0={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-mgs',$

ce qui donne en intégrant

$s'=\mathrm {A} e^{t{\sqrt {mg}}}+\mathrm {B} e^{-t{\sqrt {mg}}},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux arbitraires. Pour les déterminer nous observerons que $\alpha s$ doit être nul lorsque $t=0,$ ce qui donne alors

$s'=1$

et, par conséquent,

$\mathrm {A+B} =1\,;$

de plus, $\alpha {\frac {ds}{dt}}$ doit être nul avec $t$ et, par conséquent, aussi ${\frac {ds'}{dt}},$ ce qui donne

$\mathrm {A-B} =0.$

On a donc

$\mathrm {A=B} ={\frac {1}{2}}$

et, par conséquent,

$\alpha s={\frac {1}{m}}\log \left({\frac {1}{2}}e^{t{\sqrt {mg}}}+{\frac {1}{2}}e^{-t{\sqrt {mg}}}\right),$