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aux suivantes

${\begin{aligned}0=&\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-\alpha \mathrm {K} {\frac {ds}{dt}}-g,\\0=&\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\alpha \mathrm {K} {\frac {du}{dt}}-g{\frac {dy}{d\theta }},\\0=&\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \theta -2\alpha n{\frac {ds}{dt}}\sin \theta +\alpha \mathrm {K} {\frac {dv}{dt}}\sin \theta -{\frac {g}{\sin \theta }}\left({\frac {dy}{d\omega }}\right),\end{aligned}}$

$\mathrm {K}$ étant une fonction de $\alpha s$ et de $\alpha {\frac {ds}{dt}},$ la première de ces équations donne $\alpha s$ en fonction du temps $t.$ Si l’on fait $\alpha u=\alpha s\left({\frac {dy}{d\theta }}\right),$ on satisfera à la deuxième de ces équations ; parce que $g$ et $\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)$ peuvent être supposés constants pendant la durée du mouvement, vu la petitesse de la hauteur d’où le corps tombe, relativement au rayon terrestre. Cette manière de satisfaire à la seconde équation est la seule qui convienne à la question présente, dans laquelle $u,{\frac {du}{dt}}$ sont nuls ainsi que $s$ et ${\frac {ds}{dt}}$ à l’origine du mouvement. Maintenant, si l’on imagine un fil à plomb de la longueur $\alpha s,$ suspendu au point d’où le corps tombe, il s’écartera, au midi du rayon $r,$ de la quantité $\alpha s\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)$ et, par conséquent, de la quantité $\alpha u\,;$ le corps en tombant est donc toujours sur les parallèles des points de la verticale qui sont à la même hauteur que lui, il n’éprouve ainsi aucune déviation vers le midi de cette ligne.

Pour intégrer la troisième équation, nous ferons

$\alpha v\sin \theta ={\frac {\alpha s}{\sin \theta }}\left({\frac {dy}{d\omega }}\right)+\alpha v'$

et nous aurons

$0=\alpha {\frac {d^{2}v'}{dt^{2}}}+\alpha \mathrm {K} {\frac {dv'}{dt}}-2\alpha n{\frac {ds}{dt}}\sin \theta .$

Le corps s’écarte, à l’est du ravon $r,$ de la quantité $\alpha v\sin \theta$ ou ${\frac {\alpha s}{\sin \theta }}\left({\frac {dy}{d\omega }}\right)+\alpha v',$ mais le fil à plomb s’écarte, à l’est de ce rayon, de la