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tesses virtuelles,

$0=\delta x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\delta y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\delta z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$

$-\delta x\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)-\delta y\left({\frac {d\mathrm {V} }{dy}}\right)-\delta z\left({\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\right),$

$-\mathrm {K} \delta r\alpha {\frac {ds}{dt}}+\mathrm {K} \delta \theta \alpha {\frac {du}{dt}}+\mathrm {K} \delta \omega \sin ^{2}\theta \alpha {\frac {dv}{dt}},$

la caractéristique différentielle $\delta$ se rapportant aux coordonnées $r,\theta$ et $\omega ,$ dont $x,y,z$ sont fonctions. En substituant pour $x,y,z,$ leurs valeurs précédentes, on a, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0&=\delta r\left(-\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}-2\alpha nr{\frac {dv}{dt}}\sin ^{2}\theta -\alpha \mathrm {K} {\frac {ds}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \theta \left(\alpha {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2\alpha n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta +\alpha \mathrm {K} {\frac {du}{dt}}\right)\\&+r^{2}\delta \omega \sin \theta \\&\quad \times \left(\alpha {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\sin \theta +2\alpha n{\frac {du}{dt}}\cos \theta -2\alpha n{\frac {ds}{dt}}{\frac {\sin \theta }{r}}+\alpha \mathrm {K} {\frac {dv}{dt}}\sin \theta \right)\\&-\delta \mathrm {V} -{\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right]+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Par la nature de l’équilibre de la couche d’air dans laquelle le corps se trouve, on a

(2)

$0=\delta \mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right]\ldots$[1],

pourvu que la valeur de $\delta r$ soit assujettie à la surface de niveau de la couche. Soit, à cette surface,

$r=a+y,$

$y$ étant une fonction de $\theta ,$ de $\omega$ et de $a,$ $a$ étant constant pour la même couche ; l’équation (2) donne ainsi

$0=\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}\right)\left[\left({\frac {dy}{d\theta }}\right)\delta \theta +\left({\frac {dy}{d\omega }}\right)\delta \omega \right]+\left({\frac {d\mathrm {Q} }{d\theta }}\right)\delta \theta +\left({\frac {d\mathrm {Q} }{d\omega }}\right)\delta \omega ,$

$\mathrm {Q}$ étant supposé égal à $\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}\left[(r-\alpha s)^{2}\sin ^{2}(\theta +\alpha u)\right]$ et en retran-

1. Œuvres de Laplace, t. I, p. 110.