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Nommons $\mathrm {V}$ la somme de toutes les molécules du sphéroïde terrestre, divisées par leurs distances au corps attiré. Les forces dont ce corps est animé par l’attraction de ces molécules sont, parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ $\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right),\left({\frac {d\mathrm {V} }{dy}}\right),\left({\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\right),$ comme il résulte du n^o 11 du second Livre de ma Mécanique céleste^[1]. Pour avoir égard à la résistance de l’air, nous pouvons représenter par $\varphi \left(\alpha s,\alpha {\frac {ds}{dt}}\right)$ l’expression de cette résistance ; car la vitesse du corps, relative à l’air considéré comme immobile, étant considérablement plus grande dans le sens de rque dans le sens $perpendiculaire$ à r, ainsi qu’on le verra bientôt, l’expression de cette vitesse relative est à très peu près $\alpha {\frac {ds}{dt}}.$ Si l’on fait, pour plus de simplicité, $r=1,$ la vitesse relative du corps dans le sens de $\theta$ est $\alpha {\frac {du}{dt}}$ et dans le sens de $\omega$ elle est égale à $\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta \,;$ la résistance de l’air sera donc

${\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\frac {ds}{dt}},$

dans le sens de $r\,;$

${\frac {-\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\frac {du}{dt}},$

dans le sens de $\theta \,;$

${\frac {-\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\alpha {\frac {dv}{dt}}\sin \theta ,$

dans le sens des $\omega .$

Nommons $\mathrm {K}$ le facteur ${\frac {\varphi \left(\alpha s,\alpha {\cfrac {ds}{dt}}\right)}{\alpha {\cfrac {ds}{dt}}}}\,;$ on aura, par le principe des vi-

1. Œuvres de Laplace, t. I.