Ce serait encore l’expression de l’action d’un corps terminé par un segment sensible d’une sphère dont le rayon est ce qui résulte de ce que l’attraction n’est sensible qu’à des distances insensibles. Si la surface, au lieu d’être convexe, est concave, il faut faire négatif et alors l’action devient Dans le cas du plan ou de infini, elle se réduit à
Ces attractions sont du même genre que celles dont dépend la réfraction de la lumière et que j’ai considérées dans les no 2 et 3 du dixième Livre de ma Mécanique céleste[1]. Ce qui les rend indépendantes des dimensions des corps, c’est qu’il est indifférent de prendre les intégrales précédentes, depuis zéro jusqu’à l’infini, ou depuis zéro jusqu’à une valeur sensible de la variable.
Le théorème relatif à l’action d’un corps quelconque, sur un canal intérieur infiniment étroit et perpendiculaire à sa surface, se démontre en observant qu’à chaque point de la surface on peut concevoir un ellipsoïde osculateur qui se confond avec le corps, de manière que la différence d’action de ces deux corps sur le canal est insensible ; et il est facile de prouver que l’action d’un ellipsoïde sur un canal, qui passe par l’un de ses axes, est égale à la demi-somme des actions de deux sphères qui auraient pour rayons le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs de la surftice de l’ellipsoïde à l’extrémité de cet axe. En nommant donc et ces deux rayons, l’action du corps sera Dans le cas d’une surface cylindrique, est infini, et l’action devient La différence de cette action et de celle d’un corps terminé par une surface plane est donc et, par conséquent, la moitié plus petite que si la surface du corps était sphérique et d’un rayon égal à C’est la raison pour laquelle le fluide s’abaisse ou s’élève entre deux plans parallèles, la moitié moins que dans un tube cylindrique d’un diamètre égal à leur distance.
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IV, p. 235 et suiv.
