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donnait la suivante,

$0={\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-{\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}},$

dans laquelle

$\alpha ={\frac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\beta }},$

et comme $\alpha$ est donné en fonction des deux constantes $\beta$ et $\gamma ,$ l’équation finie précédente renferme une constante arbitraire et, par conséquent, elle est l’intégrale complète de l’équation différentielle. En effet, si l’on suppose ${\frac {1}{\beta }}=a^{2},$ l’équation finie devient

$0=a^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)+2xy{\sqrt {1-2\alpha a^{2}+a^{4}}}+a^{2}x^{2}y^{2},$

$a$ étant une constante arbitraire qui ne se rencontre point dans l’équation différentielle. Cette équation donne

$a={\frac {x{\sqrt {\mathrm {Y} }}-y{\sqrt {\mathrm {X} }}}{1-x^{2}y^{2}}},$

$\mathrm {Y}$ étant égal à $1-2\alpha y^{2}+y^{4},$ et $\mathrm {X}$ étant $1-2\alpha x^{2}+x^{4}.$ On a de plus, par ce qui précède,

$\psi (x)=\psi (y)+\psi (a),$

$\psi (x)$ étant l’intégrale $\int {\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}},$ cette intégrale commençant avec $x\,;$ en formant donc une Table à simple entrée des valeurs de $\psi (x),$ cette Table donnera les valeurs de ${\frac {x{\sqrt {\mathrm {Y} }}-y{\sqrt {\mathrm {X} }}}{1-x^{2}y^{2}}}$ ou de $a\,;$ car la différence $\psi (x)-\psi (y)$ étant égale à $\psi (a),$ cette Table donnera la valeur de $a.$ On pourra même, au moyen d’une seconde Table à simple entrée, qui donne les valeurs d’une fonction quelconque $\Gamma (x)$ de $x,$ avoir celle de $\Gamma \left({\frac {x{\sqrt {\mathrm {Y} }}-y{\sqrt {\mathrm {X} }}}{1-x^{2}y^{2}}}\right).$

Si l’on fait $\mathrm {A} =1-2\alpha a^{2}+a^{4},$ l’équation algébrique précédent donnera

$x={\frac {y{\sqrt {\mathrm {A} }}+a{\sqrt {\mathrm {Y} }}}{1-a^{2}y^{2}}},$