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moyen réduire en Tables à simple entrée les Tables à double entrée. C’est ce que j’ai fait à l’égard de la Table des réfractions astronomiques, publiée par le Bureau des Longitudes, et dans laquelle la formule des réfractions, que j’ai donnée dans le dixième Livre de la Mécanique céleste, est réduite de cette manière à des Tables à simple entrée. M. Oltmans a fait ensuite la même chose à l’égard de la formule des hauteurs conclues des observations barométriques.

On peut généraliser l’analyse précédente, en considérant une fonction quelconque $\varphi (\mathrm {X+Y} ).$ Supposons que l’on ait généralement

$u=\varphi (\mathrm {X+Y} ),$

en différentiant, on aura

${\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{d\mathrm {X} }}=\varphi '(\mathrm {X+Y} ),\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dy}{d\mathrm {Y} }}=\varphi '(\mathrm {X+Y} ),$

partant

${\frac {\cfrac {dx}{d\mathrm {X} }}{\cfrac {dy}{d\mathrm {Y} }}}={\frac {\cfrac {\partial u}{\partial y}}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}}.$

Il faut donc, pour que la réduction soit possible, que le quotient de ${\frac {\partial u}{\partial x}},$ divisé par ${\frac {\partial u}{\partial y}},$ soit de la forme $\mathrm {\frac {S}{T}} ,$ $\mathrm {S}$ étant une fonction de $x,$ et $\mathrm {T}$ une fonction de $y.$ L’équation différentielle

$0=\mathrm {S} dx+\mathrm {T} dy$

a pour intégrale

$\mathrm {const} .=\int \mathrm {S} dx+\int \mathrm {T} dy,$

elle a donc aussi pour intégrale $u=\mathrm {const} .\,;$ ainsi toute équation finie en $x$ et $y,$ qui, de plus, renfermant une arbitraire, satisfait à l’équation précédente, donne pour l’expression de cette constante une fonction de $x$ et de $y,$ dont on pourra déterminer les valeurs au moyen d’une Table à simple entrée.

On a vu précédemment que l’équation

$0=1-\beta \left(x^{2}+y^{2}\right)+2\gamma xy+x^{2}y^{2}$