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En formant une Table à simple entrée, de la fonction ${\frac {1}{2}}t^{2},$ la différence des deux nombres qui répondront dans cette Table à $t=x+y$ et $t=x-y$ ou $y-x,$ suivant que $\mathrm {X}$ sera plus ou moins grand que $\mathrm {Y} \,;$ cette différence, dis-je, sera le produit $xy.$

En faisant $a=1,$ les équations

${\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+x=0,\qquad {\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+y=0$

seront satisfaites, en faisant $x=\sin \mathrm {X} ,\ y=\sin \mathrm {Y} \,;$ et alors on aura

$xy={\frac {1}{2}}\left[\cos(\mathrm {X-Y} )-\cos(\mathrm {X+Y} )\right]\,;$

on peut donc, au moyen d’une Table de sinus et de cosinus, déterminer le produit des deux nombres $x$ et $y\,;$ on déterminera les angles $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ au moyen de leurs sinus $x$ et $y,$ et en prenant dans la Table les cosinus des angles $\mathrm {X-Y}$ et $\mathrm {X+Y} ,$ leur demi-différence sera le produit $xy.$ Cette manière ingénieuse de faire servir les Tables de sinus à la multiplication des nombres fut imaginée et employée un siècle environ avant l’invention des logarithmes, qui, comme on vient de le voir, ne dépendant que d’une seule fonction $\varphi (\mathrm {X+Y} ),$ est beaucoup plus simple et rend très facile la division des nombres, leur élévation aux puissances et l’extraction de leurs racines ; car on a

${\frac {x}{y}}=e^{q(\mathrm {X-Y} )}\quad {\text{et}}\quad x^{n}=e^{qn\mathrm {X} }\,;$

ainsi la division se réduit à une soustraction ; l’élévation aux puissances se réduit à une multiplication et l’extraction des racines à une division.

La facilité de tous ces calculs rend les logarithmes un des instruments les plus puissants de l’esprit humain et, lorsque le système métrique sera généralement adopté, ils deviendront d’un usage commun dans la Société, à laquelle ils seront aussi utiles que notre échelle arithmétique, dont ce système est le complément. On doit donc multiplier, le plus qu’il est possible, les usages des logarithmes et par leur