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et il est visible que les Tables à simple entrée, dont on a parlé ci-dessus, se réduiront à une seule, si l’on fait $\mathrm {A=B} =1\,;$ et alors $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont nuls, lorsque $x$ et $y$ sont égaux à l’unité.

La Table à simple entrée, que l’on obtient de cette manière, est une Table de logarithmes, $\mathrm {X}$ étant le logarithme de $x.$ Les logarithmes sont hyperboliques, si $q$ est égal à l’unité, c’est-à-dire si l’accroissement infiniment petit du logarithme $\mathrm {X}$ est égal à celui du nombre $x,$ lorsque $x$ est égal à l’unité. Les logarithmes sont ceux que l’on nomme tabulaires, si $q$ est tel que l’on ait $e^{q}=10.$ Cette valeur de $q$ offre l’avantage de donner les logarithmes des nombres dix, cent, mille, etc. fois plus grands ou plus petits, en ajoutant ou retranchant de ces logarithmes $1,$ ou $2,$ ou $3,\ldots .$

Si l’on emploie deux fonctions pour représenter $xy,$ si, par exemple, on suppose

$xy=\varphi (\mathrm {X+Y} )-\varphi (\mathrm {X-Y} ),$

on aura

$y{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}=x{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}=\varphi ''(\mathrm {X+Y} )-\varphi ''(\mathrm {X-Y} ),$

$\varphi ''(z)$ étant égal à ${\frac {d\varphi '(z)}{dz}}.$ On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+a^{2}x=&0,\\{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+a^{2}y=&0\,;\end{aligned}}$

$a$ étant une constante quelconque. Le cas le plus simple est celui de $a$ nul, et alors on peut supposer $x=\mathrm {X} ,\ y=\mathrm {Y} \,;$ ce qui donne

$0=\varphi ''(\mathrm {X+Y} )-\varphi ''(\mathrm {X-Y} ).$

Ainsi, $\varphi ''(\mathrm {X+Y} )$ est égal à une constante et, par conséquent, $\varphi (\mathrm {X+Y} )$ est de la forme $b(\mathrm {X+Y} )^{2}+p(\mathrm {X+Y} )+q\,;$ $b,p$ et $q$ étant des constantes. L’expression précédente de $xy$ déterminera ces constantes, et elle donnera

$xy={\frac {1}{2}}\left[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right].$