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en désignant ${\frac {d\varphi (z)}{dz}}$ par $\varphi '(z).$ On aura pareillement, en didérentiant par rapport à $y,$

$x{\frac {dy}{d\mathrm {Y} }}=\varphi '\left(\mathrm {X+Y} \right).$

La comparaison de ces deux équations donne

${\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}={\frac {dy}{yd\mathrm {Y} }},$

le premier membre de cette équation étant fonction de $x$ seul, et le second membre étant fonction de $y$ seul ; il est clair que les deux variables $x$ et $y$ étant indépendantes, chacun de ces membres doit être égal à une même constante que nous indiquerons par $q\,;$ on aura donc

${\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}=q={\frac {dy}{yd\mathrm {Y} }}.$

Les intégrales de ces équations sont évidemment

$x=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} },\qquad y=\mathrm {B} e^{q\mathrm {Y} }.$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires, car il est visible que l’on a

$dx=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} }\left(e^{qd\mathrm {X} }-1\right)=x\left(e^{qd\mathrm {X} }-1\right),$

ce qui donne

${\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}=q,$

si l’on a

$e^{qd\mathrm {X} }-1=qd\mathrm {X} \quad {\text{ou}}\quad e=(1+qd\mathrm {X} )^{\frac {1}{qd\mathrm {X} }}.$

En développant le second membre en série, par le théorème connu du binôme, et négligeant l’unité, eu égard à ${\frac {1}{qd\mathrm {X} }},$ on aura

$e=2+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+\ldots =2{,}71821\,;$

on aura ainsi les trois équations

$x=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} },\qquad y=\mathrm {B} e^{q\mathrm {Y} },\qquad xy=\mathrm {AB} e^{q(\mathrm {X+Y} )}\,;$