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on aura

${\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-{\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}}=0,$

et en intégrant, on aura l’équation suivante, qui n’est qu’une transformée de l’équation proposée,

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-\int {\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}}=a.$

Si l’on feit maintenant $x=x^{(n+1)},\ y=x^{(n)}\,;$ la proposée se changera dans l’équation aux différences finies,

$0=1-\beta \left(x^{(n+1)^{2}}+x^{(n)^{2}}\right)+2\gamma x^{(n+1)}x^{(n)}+x^{(n+1)^{2}}x^{(n)^{2}},$

et sa transformée deviendra

$\Delta \int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}}=a,$

d’où l’on tire, en intégrant aux différences finies,

$\int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}}=an+b,$

$b$ étant une constante arbitraire, qui est égale à

$\int {\frac {dx^{(0)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(0)^{2}}+x^{(0)^{4}}}}}.$

Pour déterminer $a,$ nous désignerons par $\psi \left(x^{(n)}\right)$ l’intégrale

$\int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}},$

et $a$ par $\psi (q)\,;$ nous aurons

$\psi \left(x^{(n+1)}\right)-\psi \left(x^{(n)}\right)=\psi (q).$

Supposons que $\psi (x)$ soit nul, lorsque $x$ est nul ; on aura, en faisant $x^{(0)}$ nul,

$\psi \left(x^{(1)}\right)=\psi (q)\quad {\text{ou}}\quad q=x^{(1)}\,;$