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ou

$\Delta \int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}}=a\,;$

en l’intégrant, on aura

$\int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}}=an+b,$

$b$ étant la constante arbitraire introduite par l’intégration aux différences finies. L’intégrale $\int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}}$ est, comme on sait, $\operatorname {arc} \operatorname {tang} x^{(n)}\,;''$ ainsi l’on a

$x^{(n)}=\operatorname {tang} (an+b).$

Pour déterminer $a,$ supposons $n$ et $b$ tels que $an+b$ soit nul ; on aura $x^{(n)}$ nul, et $x^{(n+1)}=\operatorname {tang} a\,:$ or, l’équation précédente aux différences finies donne, lorsque $x^{(n)}$ est nul,

$x^{(n+1)}={\frac {1}{\beta }}=\operatorname {tang} a\,;$

$a$ est donc l’angle dont la tangente est ${\frac {1}{\beta }}.$ L’arbitraire $b$ est l’angle dont la tangente est $x^{(0)}.$

Considérons maintenant l’équation

$0=1-\beta \left(x^{2}+y^{2}\right)+2\gamma xy+x^{2}y^{2},$

elle donne, en la différenciant,

${\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}={\frac {\left(x^{2}y-\beta y+\gamma x\right)^{2}}{\left(xy^{2}-\beta x+\gamma y\right)^{2}}}={\frac {y^{2}\left(x^{2}-\beta \right)^{2}+2\gamma xy\left(x^{2}-\beta \right)+\gamma ^{2}x^{2}}{x^{2}\left(y^{2}-\beta \right)^{2}+2\gamma xy\left(y^{2}-\beta \right)+\gamma ^{2}y^{2}}}.$

Substituant dans le numérateur, pour $x^{2}$ sa valeur ${\frac {1-\beta y^{2}+2\gamma xy}{\beta -y^{2}}},$ et dans le dénominateur, pour $y^{2}$ sa valeur ${\frac {1-\beta x^{2}+2\gamma xy}{\beta -x^{2}}},$ on aura

${\frac {dx^{2}}{dy^{2}}}={\frac {1-{\cfrac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }}x^{2}+x^{4}}{1-{\cfrac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }}y^{2}+y^{4}}},$

en faisant donc

$2\alpha ={\frac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{\beta }},$