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et, par conséquent, à l’équation

$\int dx^{(n+1)}\psi \left(x^{(n+1)}\right)-\int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=a.$

Cette équation n’est qu’une transformée de la proposée, mais dans laquelle les deux variables sont séparées.

Si, dans la proposée, les deux variables $x^{(n)}$ et $x^{(n+1)}$ entrent de manière que l’on ait $\psi \left(x^{(n+1)}\right)=\varphi \left(x^{(n+1)}\right),$ la transformée deviendra

$\int dx^{(n+1)}\varphi \left(x^{(n+1)}\right)-\int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=a,$

et, en intégrant

$\int dx^{(n)}\varphi \left(x^{(n)}\right)=an+b,$

$b$ étant la constante arbitraire introduite par l’intégration ; on aura ainsi $x^{(n)}$ en fonction de $an+b.$ Appliquons cette méthode à quelques exemples.

Considérons d’abord l’équation

$0=1-\beta (x-y)+xy.$

ce qui donne

$\beta ={\frac {1+xy}{x-y}}\,;$

en différenciant, on aura

${\frac {dx}{1+x^{2}}}-{\frac {dy}{1+y^{2}}}=0,$

et, par conséquent,

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}-\int {\frac {dy}{1+y^{2}}}=a,$

$a$ étant une constante qui doit être une fonction de $\beta \,;$ car cette dernière équation n’est qu’une transformée de la proposée. Maintenant, si l’on fait $x=x^{(n+1)},\ y=x^{(n)},$ cette proposée se change dans l’équation aux différences finies,

$0=1-\beta \left(x^{(n+1)}-x^{(n)}\right)+x^{(n+1)}x^{(n)},$

ou

$0=1+\left(x^{(n)}-\beta \right)\Delta x^{(n)}+x^{(n)^{2}}.$

Sa transformée devient

$a=\int {\frac {dx^{(n+1)}}{1+x^{(n+1)^{2}}}}-\int {\frac {dx^{(n)}}{1+x^{(n)^{2}}}},$