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$\cos gx+{\sqrt {-1}}\sin gx,$ on aura

(6)

$\int {\frac {dx}{x^{\alpha }}}\left(\cos gx+{\sqrt {-1}}\sin gx\right)={\frac {k}{(1-\alpha )\left(f-g{\sqrt {-1}}\right)^{1-\alpha }}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini.

Représentons la fraction ${\frac {1}{\left(f-g{\sqrt {-1}}\right)^{1-\alpha }}},$ par

$h\left(\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi \right)\,;$

nous aurons

$f-g{\sqrt {-1}}=h^{\frac {1}{\alpha -1}}\left(\cos {\frac {\varphi }{1-\alpha }}-{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\varphi }{1-\alpha }}\right),$

ce qui donne

${\begin{aligned}h^{\frac {1}{\alpha -1}}\cos {\frac {\varphi }{1-\alpha }}=&f,\\h^{\frac {1}{\alpha -1}}\sin {\frac {\varphi }{1-\alpha }}=&g,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{1-\alpha }}={\frac {g}{f}},$

$h=\left(f^{2}+g^{2}\right)^{\frac {\alpha -1}{2}}.$

La première équation donne

$\varphi =(\mathrm {A} +r\pi )(1-\alpha ),$

$\mathrm {A}$ étant le plus petit angle positif dont ${\frac {g}{f}}$ soit la tangente, et $r$ étant un nombre entier, que l’on doit supposer nul, d’après ce qui précède. Cela posé, l’équation (6) donnera les deux suivantes

(7)

$\int {\frac {dxe^{-fx}\cos gx}{x^{\alpha }}}={\frac {k\cos \mathrm {A} }{(1-\alpha )\left(f^{2}+g^{2}\right)^{\frac {1-\alpha }{2}},}},$

(8)

$\int {\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha }}}={\frac {k\sin \mathrm {A} }{(1-\alpha )\left(f^{2}+g^{2}\right)^{\frac {1-\alpha }{2}},}},$

On a, en prenant les intégrales depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini,

$\int {\frac {dxe^{-fx}\cos gx}{x^{\alpha }}}=\int {\frac {f}{g}}{\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha }}}+\int {\frac {\alpha }{g}}{\frac {dxe^{-fx}\sin gx}{x^{\alpha +1}}}\,;$