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ce qui donne

${\frac {dy}{ds}}=\sin \left(\int {\frac {ds}{r}}\right),$

et, par conséquent,

${\frac {dx}{ds}}=\cos \left(\int {\frac {ds}{r}}\right)\,;$

substituant pour ${\frac {1}{r}}$ sa valeur ${\frac {s}{a^{2}}},$ on aura

$x=\int ds\cos {\frac {s^{2}}{2a^{2}}},\qquad y=\int ds\sin {\frac {s^{2}}{2a^{2}}}.$

Euler parvient aux mêmes équations, dans son bel Ouvrage Sur les isopérimètres, page 276 ; mais il ajoute : « Curva ergo erit ex spiralium genere, ita ut infinitis spiris, in certo quodam puncto tanquam centra convolvatur, quod punctum ex hâc constructione invenire difficillimum videtur. » La détermination de ce point se déduit facilement de l’analyse précédente ; car, en faisant ${\frac {s^{2}}{2a^{2}}}=\varphi ,$ on aura

$ds=a{\frac {d\varphi }{\sqrt {2\varphi }}}\quad {\text{et}}\quad x=a\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {2\varphi }}}\cos \varphi ,\quad y=a\int {\frac {d\varphi \sin \varphi }{\sqrt {2\varphi }}},$

les intégrales étant prises depuis $\varphi$ nul jusqu’à $\varphi$ infini ; alors on a, par ce qui précède,

$x=y={\frac {1}{2}}a{\sqrt {\pi }}.$

On peut généraliser l’analyse précédente, en l’appliquant à l’intégrale

$\int {\frac {dx}{x^{\alpha }}}e^{-fx+gx{\sqrt {-1}}}.$

Si l’on fait

$fx-gx{\sqrt {-1}}=t^{\frac {1}{1-\alpha }},$

l’intégrale devient

$\int {\frac {dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}}}{(1-\alpha )\left(f-g{\sqrt {-1}}\right)^{1-\alpha }}}\,;$

en nommant donc, comme ci-dessus, $k$ l’intégrale $\int dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, et substituant, au lieu de $e^{gx{\sqrt {-1}}},$