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tions (1) et (2), $r$ peut être supposé nul, et alors elles deviennent

(3)

$\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}={\frac {k}{1-\alpha }}\sin {\frac {\alpha \pi }{2}},$

(4)

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}={\frac {k}{1-\alpha }}\cos {\frac {\alpha \pi }{2}},$

on doit y joindre l’équation

(5)

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha +1}}}={\frac {k}{\alpha (1-\alpha )}}\sin {\frac {\alpha \pi }{2}}.$

Pour donner une application de cette analyse, considérons une lame élastique repliée naturellement sur elle-même en forme de spirale. Concevons que son extrémité intérieure soit fixe, et que la lame puisse être développée dans une ligne horizontale, par un poids $p$ suspendu à son autre extrémité. Dans cet état, l’action du poids sur un élément de la lame, placé à la distance $s$ de l’extrémité, sera $ps\,;$ et le ressort de l’élément doit lui faire équilibre. Ce ressort est réciproque au rayon osculateur de la lame dans son état naturel. En nommant donc $r$ ce rayon relatif à la partie $s$ de la lame, prise de son extrémité extérieure, on aura

$ps={\frac {g}{r}},$

$g$ étant une constante dépendant de l’élasticité propre de la lame. Nous ferons ${\frac {g}{p}}=a^{2},$ $a$ étant une droite, pour conserver l’homogénéité des dimensions ; on aura ainsi, dans l’état naturel de la lame,

$s={\frac {a^{2}}{r}}.$

Maintenant concevons dans cet état, et par l’extrémité extérieure de la lame, deux coordonnées orthogonales $x$ et $y$ dont la première soit, à cette origine, tangente à la lame ; on aura

${\frac {ds}{r}}={\frac {d{\cfrac {dy}{ds}}}{\sqrt {1-{\cfrac {dy^{2}}{ds^{2}}}}}},$