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donc

${\begin{aligned}\int {\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}=&{\sqrt {\pi }}\cos {\frac {2r+1}{4}}\pi ,\\\int {\frac {dx\sin x}{\sqrt {x}}}=&{\sqrt {\pi }}\sin {\frac {2r+1}{4}}\pi ,\end{aligned}}$

le sinus et le cosinus de ${\frac {(2r+1)\pi }{4}}$ doivent donc être positifs, ce qui suppose $r$ nul ou un multiple de $4\,;$ alors, on a

$\sin {\frac {(2r+1)\pi }{4}}=\cos {\frac {(2r+1)\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},$

partant

$\int {\frac {dx\sin x}{\sqrt {x}}}=\int {\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.$

Mascheroni, dans un Ouvrage intitulé Annotationes in Calculum integralem Euleri, a trouvé $\int {\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}={\sqrt {2\pi }}\,;$ mais cette valeur est évidemment trop grande, car on a vu que $\int {\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}$ est moindre que l’intégrale partielle, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {\pi }{2}},$ et cette intégrale partielle est plus petite elle-même que l’intégrale $\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}},$ prise dans le même intervalle : or, cette dernière intégrale est ${\sqrt {2\pi }}\,;$ donc $\int {\frac {dx\cos x}{\sqrt {x}}}$ est moindre que ${\sqrt {2\pi }}.$

Si $\alpha ={\frac {3}{4}},$ on aura

$k=\int dte^{-t^{4}}.$

En nommant $\pi '$ l’intégrale $\int {\frac {du}{\left(1-u^{4}\right)^{\frac {1}{2}}}},$ prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ on a

$\pi '=1{,}311\,028\,777\,146\,059\,87$

et

$k={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi '{\sqrt {2\pi }}}}=0,906\,402$