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moindre que l’unité. L’intégrale $\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}$ est donc aussi positive et finie. Tous les éléments de cette intégrale sont positifs depuis $x=0$ jusqu’à $x={\frac {\pi }{2}}.$ En faisant ensuite $x={\frac {\pi }{2}}+x',$ l’intégrale se réduit à $-\int {\frac {dx'\sin x'}{\left({\frac {\pi }{2}}+x'\right)^{\alpha }}},$ et l’on voit par ce qui précède, que cette dernière intégrale, prise depuis $x'$ nul jusqu’à $x'$ infini, est une quantité négative ; l’intégrale partielle $\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}},$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x={\frac {\pi }{2}},$ surpasse donc l’intégrale entière prise jusqu’à l’infini.

Reprenons maintenant les équations (1) et (2) et supposons d’abord $1-\alpha$ infiniment petit, l’équation (2) donnera

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}=(2r+1){\frac {\pi }{2}}k,$

$k$ est égal à l’intégrale $\int dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}},$ et cette intégrale devient ici $\int dte^{-t^{\infty }}.$ Tant que $t$ est moindre que l’unité, $e^{-t^{\infty }}$ est égal à l’unité ; et il devient nul, lorsque $t$ surpasse l’unité ; $k$ est donc égal à l’unité. Maintenant, l’intégrale $\int {\frac {dx\sin x}{x}}$ est moindre que cette même intégrale, prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi \,;$ et cette dernière intégrale est plus petite que l’intégrale $\int {\frac {xdx}{x}},$ prise dans le même intervalle, et, par conséquent, plus petite que $\pi \,;$ il faut donc ici faire $r=0$ et $k=1,$ ce qui donne

$\int {\frac {dx\sin x}{x}}={\frac {\pi }{2}},$

l’équation (1) donne alors $\int {\frac {dx\cos x}{x}}$ infini, comme cela doit être.

Si l’on suppose $\alpha ={\frac {1}{2}},$ on aura $k=\int dte^{-t^{2}},$ et cette dernière quantité est ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ comme je l’ai fait voir dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782^[1] ; les équations (1) et (2) deviennent

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 223.