les intégrales étant prises depuis nul jusqu’à infini. Dans cet intervalle, est une quantité positive et finie, lorsque est moindre que En effet, dans la première demi-circonférence, tous les éléments de l’intégrale étant positifs, l’intégrale entière est postive. Dans la seconde demi-circonférence, tous les éléments sont négatifs ; mais l’élément qui correspond à dans la première, est et l’élément qui correspond au même sinus, dans la seconde, est la somme de ces deux éléments est évidemment positive ; ainsi la somme de leurs intégrales, prises depuis jusqu’à est positive : or, cette somme est l’intégrale depuis jusqu’à cette intégrale, prise dans l’étendue de la circonférence, est done positive. On prouvera de la même manière qu’elle est positive dans l’étendue de la deuxième, de la troisième, etc, circonférence ; et c’est la somme de toutes ces quantités positives qui forme l’intégrale entière prise depuis nul jusqu’à infini.
Cette intégrale, prise à l’infini, est plus petite que sa valeur prise dans l’étendue de la première demi-circonférence. En effet, si l’on suppose elle devient et l’on prouvera, comme ci-dessus, que cette dernière intégrale prise depuis nul jusqu’à infini est une quantité et, comme elle doit être ajoutée à l’intégrale prise dans l’étendue de la première demi-cireonférence, il en résulte que cette dernière intégrale surpasse l’intégrale entière prise jusqu’à infini.
L’intégrale est égale à et cette dernière quantité se réduit à son second terme, lorsque les intégrales sont prises depuis jusqu’à infini : or, on vient de voir que la seconde intégrale est toujours posilive et finie, lorsque est
