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et moindre que l’unité, Soit $x=t^{\frac {1}{1-\alpha }}{\sqrt {-1}}\,;$ cette intégrale deviendra

${\frac {1}{1-\alpha }}(-1)^{\frac {1-\alpha }{2}}\int dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}}.$

En prenant la première intégrale depuis $x=0$ jusqu’à x infini ; la seconde intégrale devra être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t$ infini.

Nommons $k$ l’intégrale $\int dte^{-t^{\frac {1}{1-\alpha }}},$ prise dans cet intervalle ; on aura

$\int {\frac {dxe^{x{\sqrt {-1}}}}{x^{\alpha }}}={\frac {1}{1-\alpha }}(-1)^{\frac {1-\alpha }{2}}k\,;$

$(-1)^{\frac {1-\alpha }{2}}$ peut être représenté par $\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi ,$ et alors on a

$-1=\left(\cos \varphi +{\sqrt {-1}}\sin \varphi \right)^{\frac {2}{1-\alpha }}=\cos {\frac {2}{1-\alpha }}\varphi +{\sqrt {-1}}\sin {\frac {2}{1-\alpha }}\varphi \,;$

cette équation donne ${\frac {2}{1-\alpha }}\varphi =(2r+1)\pi ,$ $r$ étant un nombre entier positif ou négatif, et $\pi$ étant la demi-circonférence ; on à donc

$\varphi =(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}},$

et, par conséquent,

$(-1)^{\frac {1-\alpha }{2}}=\cos(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}}\,;$

on a donc

${\begin{aligned}\int {\frac {dxe^{x{\sqrt {-1}}}}{x^{\alpha }}}=&\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}+{\sqrt {-1}}\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}\\=&\left[\cos(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}}\right]{\frac {k}{1-\alpha }}\,;\end{aligned}}$

en comparant les quantités réelles aux réelles et les imaginaires aux imaginaires, on aura

(1)

$\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}={\frac {k}{1-\alpha }}\cos(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}},$

(2)

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}={\frac {k}{1-\alpha }}\sin(2r+1)(1-\alpha ){\frac {\pi }{2}},$