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tion proposée aux différences partielles étant linéaire, on aura

${\begin{aligned}y=\varphi (x')&+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d\varphi (x')}{dx'}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi (x')}{dx{'2}}}+\ldots \\&+x\psi (x')+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {d\psi (x')}{dx'}}+\ldots \end{aligned}}$

$=\int dze^{-z^{2}}\left[\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)+\Pi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)\right]$

$=\int dze^{-z^{2}}\varphi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right),$

en faisant

$\varphi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)=\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)+\Pi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right).$

On voit donc avec évidence comment l’expression de $y,$ qui semble renfermer deux fonctions arbitraires $\varphi (x')$ et $\psi (x'),$ ne dépend cependant que d’une seule fonction arbitraire.

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Sur le passage réciproque des résultats réels aux résultats imaginaires.

Lorsque les résultats sont exprimés en quantités indéterminées, la généralité de la notation embrasse tous les cas, soit réels, soit imaginaires. L’analyse a tiré un grand parti de cette extension, surtout dans le calcul des sinus et des cosinus, qui peuvent, comme l’on sait, étre représentés par des exponentielles imaginaires. J’ai fait voir, dans ma Théorie des approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres, insérée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782^[1], que ce passage du réel à l’imaginaire pouvait encore avoir lieu, même lorsque les résultats sont exprimés en quantités déterminées ; et j’en ai conclu les valeurs de quelques intégrales définies, qu’il serait difficile d’obtenir par d’autres moyens. Je vais donner ici quelques nouvelles applications de cet artifice remarquable.

Je considère généralement l’intégrale $\int {\frac {dxe^{x{\sqrt {-1}}}}{x^{\alpha }}},$ $\alpha ,$ étant positif

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 209.