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et par conséquent, $\int dze^{-z^{2}}\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)$ est nul dans les limites $z=-\infty$ et $z=\infty .$ De plus, on a

$\int dze^{-z^{2}}\Gamma ^{(2r)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right)={\frac {e^{-z^{2}}}{2{\sqrt {x'}}}}\Gamma ^{(2r-1)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+\int {\frac {e^{-z^{2}}zdz}{\sqrt {x'}}}\Gamma ^{(2r-1)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right).$

Le premier de ces deux termes est nul dans les limites $z=-\infty$ et $z=\infty ,$ parce que nous supposons généralement $\Gamma ^{(2r-1)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right)$ tel que son produit par $e^{-z^{2}}$ disparaisse lorsque $z$ est infini. Le terme $\int {\frac {e^{-z^{2}}zdx}{\sqrt {x'}}}\Gamma ^{(2r-1)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right)$ est égal à

${\frac {\partial }{\partial x'}}\int e^{-z^{2}}dz\Gamma ^{(2r-2)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right),$

on aura ainsi généralement

$\int dze^{-z^{2}}\Gamma ^{(2r)}\left(2z{\sqrt {x'}}\right)={\frac {d^{r}}{dx^{'r}}}\int e^{-z^{2}}dz\Gamma \left(2z{\sqrt {x'}}\right)\,;$

en désignant donc par $\varphi (x')$ l’intégrale $\int dze^{-z^{2}}\Gamma \left(2z{\sqrt {x'}}\right),$ on aura

$y=\varphi (x')+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d\varphi (x')}{dx'}}+{\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {d^{2}\varphi (x')}{dx{'2}}}+\ldots =\int dze^{-z^{2}}\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right).$

Si l’on désigne maintenant par $\Pi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)$ une fonction qui ne renferme que des puissances impaires de $x+2z{\sqrt {x'}},$ on aura

$y=\int dze^{-z^{2}}\left[x\Pi '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}\Pi '''\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+\ldots \right],$

fonction que lon réduira, comme ci-dessus, à la suivante, en faisant

$\int dze^{-z^{2}}\Pi '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)=\psi (x'),$

$y=x\psi (x')+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {d\psi (x')}{dx'}}+\ldots =\int dze^{-z^{2}}\Pi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right).$

En réunissant ces deux expressions de $y,$ comme on le peut, l’équa-