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l’intégrale étant prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty ,$ $e^{-z^{2}}\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)$ est nul à ces limites ; car nous supposons la fonction $\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)$ telle que son produit par $e^{-z^{2}}$ reste nul lorsque $z$ est infini ; on a donc alors

${\frac {\partial y}{\partial x'}}=\int dze^{-z^{2}}\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.$

L’expression précédente de $y,$ au moyen d’une intégrale définie, est complète, quoiqu’elle ne renferme qu’une seule fonction arbitraire ; cependant, en développant $y$ par rapport aux puissances de $x,$ on trouve que l’on satisfait à l’équation proposée aux différences partielles, en faisant

${\begin{aligned}y=\quad &\varphi (x')+\ \ {\frac {x^{2}}{1.2}}\ \ {\frac {d\varphi (x')}{dx'}}\ +\ \ {\frac {x^{4}}{1.2.3.4}}\ {\frac {d^{2}\varphi (x')}{dx'^{2}}}+\ldots \\+x&\psi (x')+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\psi (x')}{dx'^{2}}}+{\frac {x^{5}}{1.2.3.4.5}}{\frac {d^{3}\psi (x')}{dx'^{3}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

$\varphi (x')$ et $\psi (x')$ étant deux fonctions arbitraires de $x'.$ Cette expression paraît donc, au premier coup d’œil, plus générale que la précédente, qui ne renferme qu’une seule fonction arbitraire ; mais nous allons faire voir qu’elle en dérive.

Supposons que $\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)$ soit une fonction arbitraire qui ne renferme que des puissances paires de $x+2z{\sqrt {x'}},$ on satisfera par ce qui précède, à l’équation proposée aux différences partielles, en faisant

$y=\int dze^{-z^{2}}\Gamma \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right).$

En développant cette expression de $y$ par rapport aux puissances de $x,$ on aura

$y=\int dze^{-z^{2}}\left[\Gamma \left(2z{\sqrt {x'}}\right)+x\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+{\frac {x^{2}}{1.2}}\Gamma ''\left(2z{\sqrt {x'}}\right)+\ldots \right],$

$\Gamma \left(2z{\sqrt {x'}}\right)$ ne renfermant que des puissances paires de $2z{\sqrt {x'}},$ $\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right)$ ne renfermera que des puissances impaires de la même quantité ; en sorte que l’on aura

$\Gamma '\left(-2z{\sqrt {x'}}\right)=-\Gamma '\left(2z{\sqrt {x'}}\right),$