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Pour avoir, sous forme finie, cette expression, au moyen d’intégrales définies, nous observerons que $\int dze^{-z^{2}}={\sqrt {\pi }},$ l’intégrale étant prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty \,;$ $\pi$ étant le rapport de la demi conférence au rayon. Nous observerons ensuite que dans ces limites on a

${\begin{aligned}\int z^{2r-1}dze^{-z^{2}}=&0,\\\int z^{2r}\quad dze^{-z^{2}}=&{\frac {1.3.5\ldots (2r-1)}{2^{r}}}{\sqrt {\pi }}\,;\end{aligned}}$

l’expression précédente de $y$ peut donc être mise sous cette forme finie,

$y={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dze^{-z^{2}}\varphi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right),$

car il est visible qu’en développant en série, par rapport aux puissances de $z,$ la fonction $\varphi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right),$ et en intégrant, on aura l’expression précédente de $y\,;$ cette intégrale satisfait ainsi à la condition de représenter exactement la série des différences, comme celles que j’ai données dans les Mémoires cités représentent les séries des intégrales indéfinies. Il est facile d’ailleurs de s’assurer par la différentiation, que l’équation

$y=\int dze^{-z^{2}}\varphi \left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)$

satisfait à l’équation aux différences partielles

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial y}{\partial x'}},$

car on a

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}=\int dze^{-z^{2}}\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right),$

$\varphi '(x)$ étant égal à ${\frac {d\varphi (x)}{dx}}$ et $\varphi ''(x)$ à ${\frac {d\varphi '(x)}{dx}},$ on a ensuite

${\frac {\partial y}{\partial x'}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {x'}}}}e^{-z^{2}}\varphi '\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right)+\int dze^{-z^{2}}\varphi ''\left(x+2z{\sqrt {x'}}\right),$