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en faisant ensuile $x'=1,$ on aura

$y_{x,2}=y_{x,1}+\Delta ^{2}y_{x,1},$

et substituant pour $y_{x,1}$ sa valeur en $y_{x,0}$ donnée par l’équation précédente, on aura

$y_{x,2}=y_{x,0}+2\Delta ^{2}y_{x,0}+\Delta ^{4}y_{x,0},$

et en continuant ainsi, on parviendra à l’expression générale précédente de $y_{x,x'}$ en $y_{x,0}.$ On voit par là que le calcul intégral aux différences finies n’est au fond qu’un calcul d’élimination, ce que l’on peut étendre au calcul intégral des différences infiniment petites, en observant dans les éliminations successives, de rejeter les infiniment petits d’un ordre supérieur à celui que l’on conserve.

L’équation aux différences finies,

$\Delta ^{2}y_{x,x'}=\Delta 'y_{x,x'},$

se change dans une équation aux différences infiniment petites, en y substituant ${\frac {\partial }{\partial x}}$ et ${\frac {\partial }{\partial x'}},$ et, au lieu des caractéristiques $\Delta$ et $\Delta '$ (Mémoires de l’Académie des Sciences, 1779)^[1], et en y changeant $y'_{x,x'}$ en $y,$ on a

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial y}{\partial x'}}.$

Pour avoir ce que devient alors l’expression précédente de $y_{x,x'},$ il faut, comme on l’a vu dans les Mémoires cités, faire $x',\ x'-1,\ldots$ égaux entre eux et à l’infini ; ce qui donne, en désignant $y_{x,0}$ par $\varphi (x),$

$y=\varphi (x)+x'{\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx}}+{\frac {x'^{2}}{1.2}}{\frac {d^{4}\varphi (x)}{dx}}+\ldots .$

Il est d’ailleurs facile de s’assurer par la différentiation, que cette valeur satisfait à l’équation proposée aux différences partielles ; mais l’analyse précédente montre avec évidence que l’intégrale complète de cette équation ne dépend que d’une seule fonction arbitraire.

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 35.