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férentielle de second ordre,

$0={\frac {\left(4b-a^{2}\right)l-bc^{2}+ahc-h^{2}}{\left(4b-a^{2}\right)^{2}}}\mu +{\frac {d\mu }{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}\mu }{d\theta ^{2}}}\,;$

de manière que l’on ait $\mu =1,$

${\frac {d\mu }{d\theta }}={\frac {bc^{2}-ahc+h^{2}-\left(4b-a^{2}\right)l}{\left(4b-a^{2}\right)^{2}}},$

lorsque $\theta$ est nul, et si l’on désigne par $r={\text{⅃}}(\theta )$ cette intégrale, on a

${\begin{aligned}z=e^{\frac {(ac-2h)y+(ah-2bc)x}{4b^{2}-a^{2}}}&\left\{\quad \int dt{\text{⅃}}\left[(y+f'x)(y+f\ x-t)\right]\varphi (t)\right.\\&\left.\quad +\int dt{\text{⅃}}\left[(y+f\ x)(y+f'x-t)\right]\psi (t)\right\},\end{aligned}}$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. $\varphi (t)$ et $\psi (t)$ sont deux fonctions arbitraires de $t\,:$ la première intégrale doit être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=y+fx,$ et la seconde, depuis $t=0$ jusqu’à $t=y+f'x.$

Si lon a

$\left(4b-a^{2}\right)l-bc^{2}+ach-h^{2}=0\,;$

alors ${\text{⅃}}(\theta )$ se réduit à l’unité, et l’on a

$z=e^{(ac-2h)y+(ah-2bc)x}\left[\varphi _{\text{ı}}(y+fx)+\psi _{\text{ı}}(y+f'x)\right],$

en désignant par $\varphi _{\text{ı}}(t)$ et $\psi _{\text{ı}}(t)$ les intégrales $\int dt\varphi (t)$ et $\int dt\psi (t)\,;$ on aura donc alors, sous forme finie d’intégrales indéfinies, l’expression de $z\,;$ mais c’est le seul cas dans lequel cela est possible : dans tous les autres cas l’intégrale n’est possible, en termes finis, qu’au moyen d’intégrales définies.

L’analyse précédente suppose que les deux racines $f$ et $f'$ de l’équation $0=u^{2}+au+b$ sont inégales. Si elles sont égales, alors $s$ est égal à $s',$ et la transformation précédente des variables $x$ et $y,$ dans $s$ et $s',$ ne peut avoir lieu. Dans ce cas, supposons $f$ nul dans l’équation $(b),$ et $f'$ la racine de l’équation $0=u^{2}+au+b.$ La condition de l’égalité des racines de cette équation donne $a^{2}=4b,$ $f'=-{\frac {1}{2}}a\,;$