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cités, relativement à la propagation du son dans un plan, et comme M. Poisson l’a remarqué ensuite dans la solution du problème de la Chaine vibrante.

Parmi les équations que j’ai considérées, est l’équation aux différences partielles du second ordre, à coefficients constants ; mais elle offre un cas particulier qui ne se trouve point compris dans la solution générale, et qui, donnant lieu à plusieurs remarques intéressantes sur la nature des intégrales des équations aux différences partielles, m’a paru mériter l’attention des Géomètres.

Soit

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+c{\frac {\partial z}{\partial x}}+h{\frac {\partial z}{\partial y}}+lz,$

$a,b,c,h$ et $l$ étant des coefficients constants ; si l’on fait

${\begin{aligned}s\ =&y+fx,\\s'=&y+f'x\,;\end{aligned}}$

l’équation proposée devient

(b)$\quad \left\{{\begin{aligned}0=&\left(f^{2}+af+b\right){\frac {\partial ^{2}z}{\partial s^{2}}}\\&+\left[2ff'+a(f+f')+2b\right]{\frac {\partial ^{2}z}{\partial s\partial s'}}+\left(f'^{2}+af'+b\right){\frac {\partial ^{2}z}{\partial s'^{2}}}\\&+(cf+h){\frac {\partial z}{\partial s}}+(cf'+h){\frac {\partial z}{\partial s'}}+lz\,;\end{aligned}}\right.$

on fera disparaitre les différences partielles ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial s^{2}}}$ et ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial s'^{2}}},$ si l’on prend pour $f$ et $f'$ les deux racines de l’équation

$0=u^{2}+au+b\,;$

alors on a $f+f'=-a$ et $ff'=b\,;$ l’équation précédente devient ainsi

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial s\partial s'}}+{\frac {cf+h}{4b-a^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial s}}+{\frac {cf'+h}{4b-a^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial s'}}+{\frac {lz}{4b-a^{2}}}.$

Il résulte des Mémoires cités^[1] que, si l’on intègre l’équation dif-

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 61.