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tion $(a)$ donnera donc

$'\Delta ^{n}(y_{x}y'_{x}y''_{x})=\left(e^{\alpha dy_{x'}+\alpha dy'_{x'}+\alpha dy''_{x'}+\ldots }-1\right)^{n},$

pourvu que, dans le développoient du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique $d$ les exposants des puissances de $dy_{x'},dy'_{x'},\ldots .$

Si, dans l’équation $(a),$ on suppose $i$ infiniment petit et égal à $dx,$ $x$ croîtra de $dx$ dans $'\Delta y_{x}\,;$ alors $'\Delta$ se changera dans la caractéristique différentielle $d\,;$ de plus, on a $(1+\Delta )^{dx}=1+dx\log(1+\Delta )\,;$ l’équation $(a)$ deviendra donc

${\frac {d^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots }{dx^{n}}}=\left[\log(1+\Delta )(1+\Delta ')(1+\Delta '')\ldots \right]^{n},$

en observant toujours les conditions prescrites ci-dessus, relativement aux caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\ldots .$ On peut supposer dans toutes ces équations $n$ négatif, pourvu que les caractéristiques différentielles correspondant aux exposants négatifs soient changées en caractéristiques intégrales.

Sur les intégrales définies des équations à diffèrences partielles.

J’ai donné, dans les Mémoires déjà cités de l’Académie des Sciences de l’année 1779^[1], une méthode pour intégrer dans un grand nombre de cas les équations linéaires aux différences partielles finies ou infiniment petites, au moyen d’intégrales définies, lorsque l’intégration n’est pas possible en termes finis. Plusieurs géomètres se sont occupés depuis du même objet, mais sans s’assujettir à la condition que l’expression en intégrales définies devienne l’intégrale en termes finis, lorsqu’elle est possible. Cette condition est ce qui rend utile ce genre d’intégrales, et il en résulte qu’elles ont souvent les mêmes avantages que les intégrales finies, comme je l’ai fait voir dans les Mémoires

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 54 et suiv.