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et, par conséquent,

$d^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}d^{n}y_{x}+ndy'_{x}d^{n-1}y_{x}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{2}y'_{x}d^{n-2}y_{x}+\ldots \,;$

on faisant $n$ négatif, $d^{n}$ se change en $\int ^{n},$ et l’on a

${\begin{aligned}\int ^{n}y_{x}y'_{x}dx^{n}=&y'_{x}\int ^{n}y_{x}dx^{n}+n{\frac {dy'_{x}}{dx}}\int ^{n+1}y_{x}dx^{n+1}\\&+{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {d^{2}y'_{x}}{dx^{2}}}\int ^{n+2}y_{x}dx^{n+2}+\ldots .\end{aligned}}$

On a encore

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{t^{i}t^{'i}t^{''i}\ldots }}-1\right)^{n}=$

$uu'u''\ldots \left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)^{i}\ldots -1\right]^{n}\,;$

en désignant donc par $'\Delta ^{n}(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots )$ la différence finie du produit $y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ lorsque $x$ varie de $i,$ l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$(a)\qquad '\Delta ^{n}(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots )=\left[(1+\Delta )^{i}(1+\Delta ')^{i}(1+\Delta '')^{i}\ldots -1\right]^{n},$

en observant les conditions prescrites ci-dessus, relativement aux caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\ldots$ et à leurs puissances. Supposons $x={\frac {x'}{dx'}},$$i={\frac {\alpha }{dx'}}\,;$ $y_{x},y'_{x},\ldots$ deviendront des fonctions de $x',$ que nous désignerons par $y_{x'},y'_{x'},\ldots \,;$ $x$ variant de l’unité dans $y_{x},$ $x'$ ne variera que de $dx'$ dans $\Delta y_{x}\,;$ ainsi la caractéristique $\Delta$ se changera dans la caractéristique différentielle $d\,;$ mais dans $'\Delta y_{x},$ $x$ variant de $i$ ou de ${\frac {\alpha }{dx'}},$ $x'$ variera de la quantité finie $\alpha \,;$ maintenant on a

$(1+d)^{i}=(1+d)^{\frac {\alpha }{dx'}}\,;$

le logarithme hyperbolique de ce second membre est ${\frac {\alpha d}{dx'}},$ ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres,

$(1+d)^{\frac {\alpha }{dx'}}=e^{\frac {\alpha d}{dx'}},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; l’équat-