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or, $uu'\varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)$ est la fonction génératrice de $y'_{x}\nabla ^{n}y_{x}\,;$

${\frac {z}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right){\frac {d\varphi ^{n}\left({\frac {1}{t}}\right)}{dz}}$

est la fonction génératrice de $z\Delta y'_{x}{\frac {d\nabla ^{n}y_{x+1}}{dz}},$ et ainsi de suite ; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$\nabla ^{n}(y_{x}y'_{x})=y'_{x}\nabla ^{n}y_{x}+z\Delta y'_{x}{\frac {d\nabla ^{n}y_{x+1}}{dz}}+z^{2}\Delta ^{2}y'_{x}{\frac {d^{2}\nabla ^{n}y_{x+2}}{1.2dz^{2}}}+\ldots .$

On a également

${\begin{aligned}uu'&u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''\ldots }}-1\right)^{n}\\&=uu'u''\ldots \left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)\ldots -1\right]^{n}\,;\end{aligned}}$

en repassant donc des fonctions génératrices aux coefficients, on aura

$\Delta ^{n}(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots )=[(1+\Delta )(1+\Delta ')(1+\Delta '')\ldots -1]^{n},$

pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après la puissance de chaque caractéristique la variable correspondante, et qu’en suite on multiplie ce terme par le produit des variables dont il ne renferme point la caractéristique : ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de $\Delta ^{r},$ $y'_{x}y''_{x}\Delta ^{r}y_{x}\,;$ au lieu de $\Delta ^{r}\Delta ^{'r'},$ on écrira $y''_{x}\Delta ^{r}y_{x}\Delta ^{r'}y'_{x}\,;$ et au lieu de $\Delta ^{r}\Delta ^{'r'}\Delta ^{''r''},$ on écrira $\Delta ^{r}y_{x}\Delta ^{r'}y'_{x}\Delta ^{r''}y''_{x}\,;$ et ainsi du reste.

Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\Delta '',\ldots$ se changent en $d,d',d'',\ldots \,;$ et l’équation précédente donne, en négligeant les différences supérieures, relativement aux inférieures,

$d^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =(d+d'+d''+\ldots )^{n}\,;$

ainsi, dans le cas de deux variables, on a

$d^{n}y_{x}y'_{x}=d^{n}+nd^{n-1}d'+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{n-2}d'^{2}+\ldots ,$