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sont respectivement génératrices des variables

$y'_{x}\Delta ^{n}y_{x},\quad \Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1},\quad \Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2},\quad \ldots \,;$

l’équation identique

$uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}=uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)+\ldots \right]$

donnera donc, en l’epassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Delta ^{n}y_{x}+n\Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2}+\ldots \,;$

en changeant $n$ dans $-n,$ on aura

$\Sigma ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Sigma ^{n}y_{x}+n\Delta y'_{x}\Sigma ^{n+1}y_{x+1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y'_{x}\Sigma ^{n+2}y_{x+2}+\ldots .$

Au lieu du multiplicateur ${\frac {1}{u'}}-1,$ considérons généralement le multiplicateur

$a+{\frac {bz}{tt'}}+{\frac {cz^{2}}{t^{2}t'^{2}}}+\ldots ,$

et désignons par $\nabla y_{x}y'_{x}$ la fonction

$ay_{x}y'_{x}+bzy_{x+1}y'_{x+1}+cz^{2}y_{x+2}y'_{x+2}+\ldots \,;$

$uu'\left(a+{\frac {bz}{tt'}}+{\frac {cz^{2}}{t^{2}t'^{2}}}+\ldots \right)^{n}$ sera la fonction génératrice de $\nabla ^{n}y_{x}y'_{x}\,;$ désignons par $\varphi ^{n}\left({\frac {z}{tt'}}\right)$ la fonction

$\left(a+{\frac {bz}{tt'}}+{\frac {cz^{2}}{t^{2}t'^{2}}}+\ldots \right)^{n}\,;$

nous aurons

${\begin{aligned}uu'\varphi ^{n}\left({\frac {z}{tt'}}\right)=&uu'\varphi ^{n}\left[{\frac {z}{t}}+{\frac {z}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]\\=&uu'\left[\varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)+{\frac {z}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right){\frac {\partial \varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)}{\partial z}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {z^{2}}{t^{2}}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi ^{n}\left({\frac {z}{t}}\right)}{1.2\partial z^{2}}}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$