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Soit $u$ une fonction de $t,$ et supposons que $y_{x}$ soit le coefficient de $t^{x}$ dans son développement ; soit pareillement $u'$ une fonction de $t',$ et désignons par $y'_{x}$ le coefficient de $t^{'x}$ dans son développement ; soit encore $u''$ une fonction de $t'',$ et désignons par $y''_{x}$ le coefficient de $t^{''x}$ dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que $y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ sera le coefficient de $t^{x}t^{'x}t^{''x}\ldots ,$ dans le développement de $uu'u''\ldots \,;$ ${\frac {uu'u''\ldots }{tt't''\ldots }}$ sera la fonction génératrice de $y_{x+1}y'_{x+1}y''_{x+1}\ldots \,;$ celle de $\Delta \left(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots \right)$ sera donc

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''\ldots }}-1\right),$

et, par conséquent, la fonction génératrice de $\Delta ^{n}\left(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots \right)$ sera

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''\ldots }}-1\right)^{n}\,;$

en changeant $n$ dans $-n,$ on aura, par les principes exposés dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences, la fonction génératrice de $\Sigma ^{n}\left(y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots \right),$ $\Sigma$ étant la caractéristique des intégrales finies ; en sorte que l’on peut changer $n$ en $-n$ dans la fonction génératrice, pourvu que l’on change $\Delta ^{n}$ en $\Sigma ^{n}$ dans son coefficient.

Considérons deux fonctions $y_{x}$ et $y'_{x}\,;$ la fonction génératrice de $\Sigma ^{n}y_{x}y'_{x}$ sera

$uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}.$

On peut la mettre sous cette forme :

$uu'\left[{\frac {1}{t}}-1+{\frac {1}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]^{n}.$

En la développant, elle devient

$uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right.$

$\left.+{\frac {n(n-1)}{1.2t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2}+\ldots \right].$

Les fonctions

$uu'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},\ \ {\frac {uu'}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right),\ \ {\frac {uu'}{t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2},\ \ \ldots$