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le coefficient de $t^{x}$ dans ${\frac {u}{t^{n}}}$ est évidemment $y_{x+n},$ celui de $t^{x}$ dans ${\frac {u}{t^{n-1}}}$ est $y_{x+n-1},$ et ainsi de suite ; en égalant donc les coefficients de $t^{x}$ dans les deux membres de l’équation précédente, c’est-à-dire en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, on aura

$\Delta ^{n}y_{x}=y_{x+n}-ny_{x+n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}y_{x+n-2}-\ldots .$

Si, au lieu de multiplier la fonction $u$ par ${\frac {1}{t}}-1,$ on la multipliait par toute autre quantité, on aurait des résultats analogues. Soit, par exemple, $a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots$ ce nouveau multiplicateur ; le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)$

sera $ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots \,;$ soit $\nabla y_{x}$ ce coefficient, et désignons par $\nabla ^{2}y_{x}$ la quantité $a\nabla y_{x}+b\nabla y_{x+1}+c\nabla y_{x+2}+\ldots ,$ par $\nabla ^{3}y_{x}$ la quantité $a\nabla ^{2}y_{x}+b\nabla ^{2}y_{x+1}+\ldots ,$ et ainsi de suite ; la fonction génératrice de $\nabla ^{n}y_{x}$ sera

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)^{n}\,;$

et, en développant $\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)^{n}$ en série, on aura une équation de cette forme :

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots \right)^{n}=u\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}+{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}+\ldots \right).$

Cette équation donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$\nabla ^{n}y_{x}=\mathrm {A} y_{x}+\mathrm {B} y_{x+1}+\mathrm {C} y_{x+2}+\ldots .$

Je renvoie, pour le développement de ce calcul des fonctions génératrices, aux Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1779^[1]. Je me bornerai ici à présenter quelques nouveaux théorèmes qui eu résultent.

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 1.