résultats des observations et de la probabilité des décisions des assemblées.
Quand on veut corriger par l’ensemble d’un grand nombre d’observations un ou plusieurs éléments déjà connus à fort peu près, on forme de la manière suivante des équations que l’on nomme équations de condition.
L’expression analytique de chaque observation étant une fonction des éléments, on y substitue la valeur approchée de chacun d’eux, plus sa correction ; en développant ensuite l’expression en série et en négligeant, à cause de leur petitesse, les carrés et les produits des corrections, on égale la série à l’observation qu’elle représente ; on a ainsi une équation de condition entre les corrections des éléments. Chaque observation fournit une équation de condition semblable. Si les observations étaient exactes, il suffirait d’en avoir un nombre égal à celui des éléments ; mais, vu les erreurs dont elles sont toujours susceptibles, on en considère un grand nombre, afin que les erreurs se compensent à fort peu près dans les résultats moyens. L’observateur doit choisir les circonstances les plus favorables à la détermination des éléments ; l’art du calculateur consiste à combiner de la manière la plus avantageuse les équations de condition, fournies par les observations, pour les réduire à un nombre égal à celui des éléments. Toutes les combinaisons que l’on peut faire reviennent à multiplier respectivement chaque équation par un facteur particulier et à faire une somme de tous ces produits ; ce qui donne une première équation finale relative au système des facteurs employés. Un second système de facteurs donnera une seconde équation finale, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait autant d’équations finales qu’il y a d’éléments. Il est visible que l’on aura les corrections les plus précises si l’on choisit les systèmes de facteurs tels que l’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur chaque élément soit un minimum ; par erreur moyenne on doit entendre la somme des produits de chaque erreur à craindre par sa probabilité. La recherche de ce minimum, l’une des plus utiles de la théorie des probabilités, exige des artifices singuliers d’analyse.
