On a fait usage de ces intersections pour déterminer, par des constructions géométriques, les racines des équations. Si l’on a, par exemple, à résoudre l’équation
on pourra faire et l’on aura
les intersections des deux courbes exprimées par ces deux équations donneront toutes les racines réelles de l’équation proposée. Ces constructions, qui ont beaucoup occupé les géomètres, sont maintenant de peu d’usage, l’Analyse ayant été appliquée à des objets plus intéressants.
Cependant, la construction des racines des équations par l’intersection d’une courbe avec l’axe des abscisses est très utile dans la théorie des équations, comme vous l’avez déjà vu, en rendant sensibles plusieurs résultats importants de cette théorie.
Si l’on suppose que, étant le terme de l’équation d’une courbe, dans lequel est élevé à sa plus haute puissance, la partie indépendante de soit une fonction rationnelle et entière de qui, décomposée en facteurs, soit de la forme
alors le produit de toutes les ordonnées relatives à la même abscisses, sera, par la nature des équations, égal à
sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses ; or, ces abscisses étant supposées toutes réelles, ainsi que toutes les ordonnées, seront les distances de ces ordonnées aux points où la courbe rencontre l’axe des d’où résulte ce théorème général :
