On distinguera lequel des deux cas a lieu par le signe qui, s’il est négatif, désigne un maximum ; il désigne un minimum s’il est positif. Mais si est nul il faut, pour le maximum ou le minimum, que soit nul. En général, il est nécessaire pour cela que les termes de la série
disparaissent en nombre impair, et le signe du premier terme qui ne devient pas nul indique un maximum s’il est négatif et un minimum s’il est positif.
Nous avons supposé que la série qui exprime la valeur de est de la forme
C’est ce qui a lieu dans le cas général où l’on considère un point quelconque de la courbe ; mais, dans des points particuliers, il peut arriver que cette valeur ait la forme
étant des nombres positifs, entiers ou fractionnaires ; et alors ces points peuvent être des points de rebroussement. Si l’on a, par exemple,
il est clair que, étant négatif, la valeur de est réelle ; mais elle devient imaginaire lorsque est positif ; la courbe s’arrête donc à l’abscisse et elle revient sur elle-même ; les deux branches formées par la double expression de se terminent en forme de bec à l’extrémité de l’ordonnée
Deux courbes rapportées aux mêmes axes peuvent se couper dans plusieurs points que l’on déterminera en observant qu’à ces points les valeurs de et de étant communes à ces courbes, on aura deux équations entre ces deux coordonnées, et l’on connaîtra chacune d’elles par l’élimination. et exprimant les degrés des équations, l’équation finale en ne peut pas s’élever au delà du degré ainsi, les deux courbes ne peuvent pas se couper dans plus de points.
