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sentons par $y=h(x+a)$ l’équation de la tangente ; $x+a$ sera la sous-tangente, et l’on aura

$x+a={\frac {y}{h}}\,;$

si l’on change $x$ dans $x+x'$ et $y$ dans $y+y',$ on aura

$y'=hx'.$

En comparant cette expression de $y'$ avec celle-ci,

$y'=\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x'^{2}+\ldots ,$

relative à la courbe proposée, on aura

$h=\mathrm {A}$

et, par conséquent, la sous-tangente est égale à ${\frac {y}{\mathrm {A} }}.$

Si la courbe osculatrice est un cercle, en nommant $\mathrm {R}$ son rayon et $a$ et $b$ les coordonnées de son centre, coordonnées que nous supposons ici perpendiculaires entre elles, ainsi que $x$ et $y,$ on aura, par la nature du cercle,

$(a-x)^{2}+(b-y)^{2}-\mathrm {R} ^{2}=0\,;$

en changeant $x$ dans $x+x'$ et $y$ dans $y+y',$ on aura

$y'=\left({\frac {x-a}{b-y}}\right)x'+{\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}{2(b-y)^{3}}}x'^{2}+\ldots .$

Cette expression de $y'$ comparée à celle-ci,

$y'=\mathrm {A} x'+\mathrm {B} x'^{2}+\ldots ,$

donne

${\frac {x-a}{b-y}}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {(a-x)^{2}+(b-y)^{2}}{2(b-y)^{3}}}=\mathrm {B} \,;$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&\mathrm {\frac {\left(1+A^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2B}} ,\\a=&x-\mathrm {A{\frac {1+A^{2}}{2B}}} ,\\b=&y+\mathrm {\frac {1+A^{2}}{2B}} .\end{aligned}}$