moyen facile d’y parvenir ; mais, au lieu de placer la règle de manière à laisser au-dessous d’elle tous les termes qui ne sont pas sur sa direction, il faut alors la disposer de manière qu’elle laisse ces termes au-dessus.
Il n’est pas nécessaire, pour l’usage de ce parallélogramme, que les exposants des puissances de et de soient des nombres entiers positifs ; ils peuvent être fractionnaires et même négatifs. Dans tous les cas, il suffit de placer chaque terme au point du concours des deux lignes parallèles aux côtés du parallélogramme qui répondent aux exposants de et de Au reste, sans recourir à ce moyen mécanique, on peut, par le calcul, former, d’une manière encore plus simple, les séries, soit ascendantes, soit descendantes, de l’expression de et c’est ce que Lagrange a fait dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin.
La considération de l’expression de en série ascendante sert à déterminer la courbe d’une nature donnée, qui coïncide avec la proposée, dans un de ses points quelconques, et que l’on nomme courbe osculatrice. et étant les deux coordonnées du point, changeons, dans l’équation de la courbe, dans et dans les termes indépendants de et de disparaîtront par la nature de l’équation, et l’on aura une nouvelle équation entre et d’où l’on tirera pour une expression en série de cette forme
étant des fonctions connues de et de On représentera ensuite, de la manière la plus générale, l’équation de la courbe osculatrice, en supposant que ses coordonnées soient et et que les constantes arbitraires dont elle dépend soient des fonctions de et de qu’il s’agit de déterminer. Alors, en réduisant cette équation dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de et de elle deviendra de cette forme
